Bash博奕

基本的巴什博弈（Bash Game）描述如下：

有一堆n个物品，两人轮流取走物品，每次至少取一个，最多取m个，最后取光者获胜。

博弈过程如下：

• 如果n<m，那么先手可以一次取完。先手必胜。

• 如果n=m+1，那么由于一次最多取走m个，无论先手取走多少个，后手都能一次性取完。此时先手必败。 可以假设，游戏局面与m+1有关。

• 如果n%(m+1)=0，那么无论先手取走多少个，假设此时为i个（操作合法时1 $ \le $ i $ \le $ m），后手都能取走m+1-i个，使得局面重新回到n%(m+1)=0。直至最后局面变成n=m+1。此时先手必败。

• 如果n%(m+1)=k $ \neq $ 0，显然1 $ \le $ k $ \le $ m，那么先手取走k个，则将n%(m+1)=0的必输态（先手必败局面、奇异局面、P-position）留给对面了。此时先手必胜。

修改一下获胜条件：

有一堆n个物品，两人轮流取走物品，每次至少取一个，最多取m个，最后取光者失败。

可以转化为基本的巴什博弈，只不过此时需要给对手留下最后1个，考虑的 $ n’ $ 实际为n-1，即(n-1)%(m+1) ? 先手胜 : 后手胜

另一类的巴什博弈：

有一堆n个物品，两人轮流取走物品，每次至少取p个，最多取q个，剩余不足p个时一次取完，最后取光者失败。

可得 $ n = (p + q) \times r + s $ 时，(s!=0 && s<=p) ? 后手胜 : 先手胜